余数定理详细教程(代数的余数定理)

时间:2024-09-04 10:48:34

讲余数定理之前,先谈一下多项式的除法运算,它的运算与普通算术的除法一样,例如:


下面的算式说明:被除数=(除数X商)+余数


对于多项式的除法,与此相同,如果用x+2去除多项式:




因此结果是:


这表明对于一个多项式f(x),当被另一个非零得多项式d(x)相除时,其商为q(x), 余项为r(x), 那么:


上面的d(x)的阶数要比f(x)小,r(x)的阶数不会高于d(x)的阶数 (所谓阶数就是多项式的最高幂次)。如果d(x)=x-k, 那么就有 f(x)=(x-k)q(x)+r



至此我们可以给出余数定理:

若多项式f(x)被x-k相除,那么余数是f(k)。


这个定理很容易证明, 将x=k带入f(x)=(x-k)q(x)+r 有:


利用余数定理可以判断某个多项式能否被x-k整除,如果f(k)=0, 说明f(x)能被x-k整=0除,那么x=k,就是f(x)=0的一个根。