一、什么是三角形角平分线定理？

三角形的角平分线分对边所成两条线段的长度比等于对应邻边的长度比。

具体分两种情况：一个是内角平分线，一个是外角平分线，所以通常拆分为两个定理：三角形内角平分线定理和三角形外角平分线定理。

1、三角形内角平分线定理

三角形的内角平分线分对边所成两条线段的长度比等于对应邻边的长度比。

如图，AD是△ABC内角∠BAC的平分线，则BD:CD=AB:AC.

2、三角形外角平分线定理

三角形的外角平分线分对边所成两条线段的长度比等于对应邻边的长度比。

如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，则BD:CD=AB:AC.

二、三角形角平分线定理的证明

我们在做与角平分线相关的题目时，最常用的辅助线就是垂两边，然后利用利用角平分线的性质或判定来解题。三角形角平分线定理的证明同样可以做这样的角平分线，然后利用角平分线的性质和等面积法即可轻松证明。

1、三角形内角平分线定理的证明

如图，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F

∵AD平分∠BAC ∴DE=DF

∴S△ABD：S△ACD=(1/2AB·DE):(1/2AC·DF)=AB:AC

∵△ABD边BD上的高与△ACD边CD上的高相等

∴S△ABD：S△ACD=BD:CD

∴BD:CD=AB:AC

2、三角形外角平分线定理的证明

如图，过点D分别作DG⊥AE，DF⊥AC，垂足分别为G、F

∵AD平分∠EAC ∴DG=DF

∴S△ABD：S△ACD=(1/2AB·DG):(1/2AC·DF)=AB:AC

∵△ABD边BD上的高与△ACD边CD上的高相等

∴S△ABD：S△ACD=BD:CD

∴BD:CD=AB:AC

三、小结

1、要适当拓宽知识面，不要局限于课本上的内容，信息时代要把身边的资源充分利用起来，要具备获取信息和自主学习的能力。

2、要分清主次。考试还是以课本内容为主，在掌握好课本内容的基础上，可以多了解一些课外知识，但不要舍本逐末，拣了芝麻却丢了西瓜。

3、万变不离其宗，角平分线相关问题最常用的辅助线还是垂两边。